FONKSİYONLAR

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.

Fonksiyon olması için;

1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.

2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.

3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.

4) B’de açıkta elaman kalabilir.

Örnek: A={ali,ayşe,fatma}   B={sarma,makarna,pilav,yahni}

A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?

a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}  

b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}  

c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}  

Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.

g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.

f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.

Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.

f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.

y=f(x) yazılır.   xϵA, y=f(x)ϵB olur.

Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.

Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma

Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni

Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni

Örnek: A={a,b,c}   B={1,2,3,4,5,6} ise

Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi

f={(a,2),(b,4),(c,4)}

Fonksiyonun görüntü kümesi

f(A)={2,4}

Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A---->B, f(x) = x²-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini

bulalım.

Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.

x=-1 için f(-1)=(-1)²-2=-1

x=0 için f(0)=(0)²-2=-2

x=2 için f(2)=(2)²-2=2

x=4 için f(4)=(4)²-2=14

f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}

f(A)={-1,-2,2,14}

Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?

f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde

x=1 yazalım.

f(2)=3+f(1)

f(2)=3+4=7

x=2 yazalım.

f(3)=3+f(2)

f(3)=3+7=10

Örnek: f: R---->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?

f(x) = 3x+5

f(2x+3) = 3(2x+3)+5

f(2x+3) = 6x+14

f(2x+3) = 2(3x+5)+4

f(2x+3) = 2f(x)+4

Örnek: f: R---->R, f(3x+2) = x²-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı

kaçtır?

f(3x+2) = x²-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.

3x+2=5 buradan x=1 olur.

x=1 için f(5)=1-1+2=2

3x+2=2 buradan x=0 olur.

x=0 için f(2)=0-0+2=2

f(5)+f(2)=2+2=4

Düşey Doğru Testi

Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.

Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri

Bire-Bir Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)

Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.

Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?

A={0,1,2,3}   B={0,1,2,3,4,5}

f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}

g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}  

g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.

f fonksiyonu bire-bir’dir.

Yatay Doğru Testi

Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.

Örten Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.

Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.

Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?

A={0,1,2,3}   B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}  

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}  

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.

f fonksiyonu örten’dir.

Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.

Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.

İçine Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.

Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?

A={0,1,2,3}   B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}  

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}  

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.

Birim Fonksiyon

A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.

I: A---->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.

Örnek: I: A---->A , I(x)=x

A={1,2,3}   B={1,2,3}

f={(1,1),(2,2),(3,3)}   birim fonksiyondur.

Sabit Fonksiyon

Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.

f(x)=c (cϵR)

Örnek: x---->y, f(x)=4

A={1,2,3}   B={3,4,5}

f={(1,4),(2,4),(3,4)}   sabit fonksiyondur.

Doğrusal Fonksiyon

Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

f: R---->R   f(x)=mx+n olarak ifade edilir.

Örnek: f: R---->R   f(x)=mx+n

f(x)=x-2

g(x)=-4x+1

h(x)=5x

k(x)=x²

Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.

Fonksiyon Sayısı

A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.

a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?

s(B)^s(A) formülüyle bulunur.

s(A)=3

s(B)=5

s(B)^s(A) = 5³ = 5.5.5 = 125’tir.

b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m, s(B)=n

P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.

P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.

c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?

B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.

d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!

P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.